| מעגל תשע הנקודות ערך מורחב — באותה שנה גילה אוילר גם שתשע נקודות מיוחדות במשולש מצויות כולן על אחד: אמצעי שלוש הצלעות, הנקודות מהן עולים הגבהים, ואמצעי הקטעים המחברים את הקודקודים עם מפגש הגבהים | ה שלהם מתלכדים, ומהווים של המשולש, בו כל הקווים המיוחדים נפגשים ומתחלקים ב 2:1 |
|---|---|
| בגאומטריות אלו סכום הזוויות במשולש תמיד גדול מ-180 מעלות | אחד המאפיינים הבולטים המבדילים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריות הלא אוקלידיות הוא והתכונות הנגזרות ממנו |
משולש שווה-צלעות ערך מורחב — משולש שווה-צלעות הוא משולש שמהווה - מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.
30| לכן יש צורך רק בחלק מנקודות אלו | בגאומטריה זו סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות |
|---|---|
| הצלעות השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס | בתמונה מצוירת בחירה של חלק כזה ומצוינים סוגי המשולשים שנקודות שונות מייצגות |
| חפיפת משולשים ערך מורחב — משולשים חופפים הם זוג משולשים שניתן להזיז, לסובב או לשקף אותם כך שהם יתלכדו זה עם זה, כלומר שלוש הצלעות שלהם ושלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה | הסבר אינטואיטיבי לכך שאם נלך לאורך היקפו של מצולע קמור, בכל קודקוד נעשה פנייה שגודלה כגודל הזווית החיצונית, ולכן אחרי שנשלים סיבוב שלם, פנינו כגודל סכום הזוויות החיצוניות |
|---|---|
| מרחב השתנות זה הוא דוגמה קלאסית פשוטה לסטק אלגברי | במשולש היא הזווית בין צלע לבין המשך הצלע הסמוכה, והיא משלימה את הזווית הפנימית בין 2 הצלעות הללו ל-180 מעלות; על כן, בגלל הטענה המדוברת, נובע כי זווית חיצונית במשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא סמוכות אליה |